jOas wEb Sci

Il est difficile d'estimer les erreurs car elles ne sont jamais observées directement. En effet, l'état vrai n'étant pas accessible, il est impossible d'obtenir des échantillons des erreurs d'ébauche et d'observation. Les données statistiques sont donc difficilement disponibles et très largement insuffisantes pour déterminer tous les éléments. Par ailleurs, les matrices de covariances d'erreur sont très grandes. Pour ces deux raisons, elles doivent être simplifiées et modélisées. De tailles réduites, ces matrices sont manipulables informatiquement parlant et nécessitent moins de d'informations statistiques pour les décrire.

La modélisation des covariances d'erreur est donc un problème difficile et il est nécessaire de faire des hypothèses d'homogénéités. La meilleure source d'information est clairement l'étude de l'innovation (\[\mathbf{d}=\mathbf{y}-H\mathbf{x}^b\]) et peut être utilisée de plusieurs manières différentes. D'autres informations peuvent être obtenues à partir du vecteur d'erreur d'analyse (\[\mathbf{y}-H\mathbf{x}^a\]) ou à partir de la valeur de la fonction coût pour les méthodes variationnelles. D'autres méthodes permettent d'estimer les covariances d'erreur d'ébauche avec des quantités dont les statistiques d'erreur sont équivalentes à celle de l'erreur d'ébauche. Parmi ce type de techniques, la méthode NMC est très connue mais ces bases théoriques sont friables. Une autre possibilité est d'utiliser une méthode d'ensemble de la même manière que pour le filtre de Kalman éponyme. Cette méthode est néanmoins applicable quelque soit la méthode d'assimilation utilisée.

Une spécification correcte et adaptée des covariances d'erreur d'observation et d'ébauche est primordiale pour la qualité de l'analyse. En effet, ces covariances déterminent comment et à quel point les observations corrigeront l'état d'ébauche. Les variances d'erreur sont les paramètres essentiels.  […]

3D-Var

La méthode d'assimilation variationnelle tri-dimensionnelle, notée 3D-Var pour "3Dimensional VARiational assimilation", consiste à chercher l'état le plus vraisemblable à partir des connaissances disponibles sur les lois de probabilités des erreurs d'observation et d'ébauche.

Comme sont nom l'indique clairement, le 3D-Var traite de problèmes tri-dimensionels. Par abus de langage, cette appellation est aussi utilisée pour des problèmes à une ou deux dimensions afin d'éviter les risques de confusions avec l'extension temporelle de cette méthode. En effet, sur un problème bi-dimensionnel, le 3D-Var s'appellerait 2D-Var, tandis que le 4D-Var se nommerait 3D-Var. Ce qui serait particulièrement ambigu. De ce fait, tous les problèmes ne prenant pas en compte l'aspect temporel sont appelés 3D-Var.

Comme pour le filtre de Kalman, le 3D-Var consiste à minimiser la distance au sens des moindres carrés entre l'état estimé et les différentes sources d'informations telles que la prévision précédente et les observations. Le nouvel état analysé est, en général, utilisé comme point de départ de la prévision suivante.

Le filtre de Kalman d'ensemble a été proposé par Evensen en 1994, puis corrigé en 1998. Pour une description détaillée, il est possible de se référer à Evensen (2003). Cette méthode a d'abord été présentée comme une alternative stochastique au filtre de Kalman étendu qui est déterministe. L'utilisation d'une méthode de Monte Carlo a été imaginée pour résoudre les deux principaux problèmes du filtre de Kalman étendu dans le cadre de système de grande taille non linéaire qui sont son coût très important et sa mauvaise réponse en cas de forte non-linéarité.

Le filtre de Kalman d'ensemble est très populaire car il est conceptuellement très simple et sa mise en oeuvre est aisée. En effet, il ne nécessite ni dérivation des opérateurs tangent-linéaires et des équations adjointes, ni intégration rétrograde du modèle d'évolution.

Le filtre de Kalman étendu peut présenter des instabilités en présence de fortes non-linéarités jusqu'à, parfois, diverger complètement (Evensen, 1992 ; Gauthier etal., 1994 et Kushner, 1967). Une possibilité pour tenter de résoudre cette difficulté est de remplacer la linéarisation dans le filtre  […]

Le filtre RRSQRT est une réponde à ce problème. Il permet d'éviter les différentes difficultés d'implémentation mise en évidence auparavant en représentant les directions principales des matrices d'erreur par des modes réduits. Ainsi, il possible d'utiliser exclusivement les modes au détriment des matrices.

Revenons aux mésaventures de notre naufragé introduites précédemment. Finalement, ne sachant comment atteindre le rivage, il se résout à évaluer la distance le séparant du rivage toutes les heures. Il dispose ainsi de \[i\] mesures de la distance du canot au rivage (\[v^o_i\]) entre l'instant de son naufrage \[t_0\] et la dernière mesure au temps \[t_i\]. Cette évaluation est supposée sans biais et sa variance, notée comme précédemment \[s^o\], est supposée stationnaire. Les coordonnées réelles du canot sont \[(u_i,v_i)\],tandis que celle issues de l'analyse \[(u_i^a,v_i^a)\] et celles de la prévision \[(u_i^f,v_i^f)\]. A l'instant du naufrage (\[t_0\]), la position du canot est \[(u_0^a,v_0^a)=(0,0)\]. Entre deux mesures aux instants \[t_i\] et \[t_{i+1}\],le canot dérive mais sa direction n'est pas connue. Le naufragé imagine donc un modèle d'évolution comme un modèle de diffusion autour de son point d'origine. Il peut donc écrire le modèle (linéaire en l'occurrence) tel que \[\mathbf{M}_{i \to i+1}=\mathbf{I}\]) et l'erreur modèle, qu'il suppose importante, telle que

où \[s^m\] est proportionnel au temps écoulé entre \[t_{k+1}\] et \[t_0\].

Dans le filtre de Kalman classique, le modèle d'évolution et l'opérateur d'observation sont supposés linéaires. Cependant, il arrive souvent que l'hypothèse de linéarité ne soit pas valide. Dans ce cas, il est possible de généraliser le filtre de Kalman en utilisant des formes linéarisées de l'opérateur d'observation et du modèle d'évolution pour les Eqs. (032), (034) et (036) et la forme non-linéaire pour les Eqs. (033) et (035). Ce filtre est appelé filtre de Kalman étendu (EKF).

L'interpolation optimale (Gandin, 1963 ; Lorenc, 1981 ou Daley, 1991), notée OI, est une simplification algébrique du BLUE présenté précédemment. L'équation (009) est décomposée en un système d'équations résolvant cette équation pour chaque variable du modèle. L'hypothèse fondamentale de cette méthode est que pour chaque variable du modèle en chaque point de grille, un nombre réduit d'observations est pris prend en compte pour effectuer l'analyse. L'approximation vient donc de la technique de sélection d'une liste de données \[p_v\] utiles pour l'analyse de chaque variable \[\mathbf{x}_v\] en chaque point de grille. Le calcul de \[\mathbf{K}\] se fait ligne par ligne en n'utilisant qu'un nombre réduit d'observations voisines de chaque point de grille (Fig. 4).

Fig. 4 : Représentation schématique de la sélection des observations au voisinage de deux points. Les analyses en ces deux points n'utilisent pas les mêmes observations bien qu'ils soient proches. Les champs analysé n'est donc généralement pas continu. De plus, le coût de l'analyse augmente avec la taille du voisinage utilisé.

Équivalence avec le BLUE

En reprenant exactement les mêmes hypothèses que pour le BLUE, il est possible de résoudre le problème par une approche variationnelle. Pour cela, il faut définir une fonctionnelle :

appelée fonction coût et qui a pour caractéristique d'être quadratique en \[ \mathbf{x} \]. Comme, de plus, les matrices \[\mathbf{B}\] et \[ \mathbf{R} \] sont définies positives, alors cette fonction coût est convexe et possède un seul minimum qui peut être estimé par son gradient :

Connaissant la matrice de covariance d'erreur d'analyse, il est possible d'essayer de minimiser son erreur scalaire (\[ \mathrm{Tr}(\mathbf{A}) \]). Il doit donc exister un gain optimal \[ \mathbf{K}^*\] qui peut être obtenu en étudiant la variation de l'erreur scalaire d'analyse sous une variation  […]

Le système étudié est décrit par \[ \mathbf{x}^t \]. La première estimation faite est \[ \mathbf{x}^b \] qui peut, par exemple, provenir d'une analyse antérieure. C'est la meilleure estimation du système en l'absence d'autres informations. Des observations \[ \mathbf{y}^o \] permettent d'obtenir des  […]

Pour prendre en compte les incertitudes dans l'ébauche, les observations et l'analyse, il faut faire des hypothèses sur la modélisation des erreurs entre ces vecteurs et leurs équivalents "vrais". L'utilisation des fonctions de densité de probabilité, nommées pdf, est une approche adaptée pour construire des modèles d'erreur. Les fonctions de densité de probabilité sont largement et rigoureusement décrites à travers des théories mathématiques. Une description simplifiée est donnée ci-dessous.

L'analyse

L'analyse est une description fiable de l'état vrai du système à un instant donné. Elle est déjà utile par elle même en tant que représentation globale et consistante du système étudié. Elle peut aussi servir comme état initial pour une prévision du système à l'aide du modèle ou comme pseudo-observation. Elle peut aussi servir de référence afin de vérifier la qualité des observations.

Pour obtenir l'état analysé, les seules informations objectives sont les mesures des observations effectuées sur l'état vrai. Le système peut parfois être surdéterminé. Dans ce cas, l'analyse se résume à un problème d'interpolation. Il est, en général, sous-déterminé car les observations sont clairsemées et pas toujours liées directement aux variables du modèle. Ce qui n'empêche pas d'avoir des régions où les observations sont très denses et où le système est ainsi sur-déterminé. Afin de bien poser le problème, il est nécessaire de disposer d'une ébauche de l'état du modèle (c'est-à-dire une estimation a priori de l'état du modèle). Des contraintes physiques peuvent aussi permettre de mieux déterminer le système. Cette ébauche peut aussi bien être une climatologie, un état quelconque ou état obtenu à partir de précédentes analyses.  Dans ce cas, si le système efficace, l'information est sensée s'accumuler dans l'état du système et se propager entre les variables du modèle.

La première question que l'on peut se poser est : "A quoi sert l'assimilation de données ?". Une question bien peu scientifique car ne répondant pas à la question "Comment ?". Et pourtant, c'est souvent la première question posée lorsque l'assimilation de données fait irruption dans une discussion. Certes, c'est un sujet peu abordé d'ordinaire, mais que certains chercheurs ou doctorants travaillant dans le domaine rencontrent fréquemment.