Les cinq étapes de l'analyse peuvent alors s'écrire ainsi :
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Calcul de la matrice de gain \[\mathbf{K}\] au temps \[t_i\] :
(037)\[ \mathbf{K}_i = \mathbf{P}^f_i\mathbf{H}_i^T\left(\mathbf{H}_i\mathbf{P}^f_i\mathbf{H}_i^T+\mathbf{R}_i\right)^{-1} \]. -
Analyse au temps \[t_i\] à l'aide le l'opérateur d'observation non-linéaire :
(038)\[ \mathbf{x}^a_i = \mathbf{x}^f_i +\mathbf{K}_i\left(\mathbf{y}^o_i - H_i \mathbf{x}^f_i \right)\]. -
Calcul de la matrice de covariance d'erreur d'analyse au temps \[t_i\] :
(039)\[ \mathbf{P}^a_i = \left( \mathbf{I} - \mathbf{K}_i\mathbf{H}_i \right) \mathbf{P}^f_i\]. -
Prévision au temps \[t_{i+1}\] par propagation de l'analyse de \[t_i\] à $t_{i+1}\] par le modèle non-linéaire d'évolution :
(040)\[ \mathbf{x}^f_{i+1} = M_{i \to i+1}(\mathbf{x}^a_i)\]. -
Calcul de la matrice de covariance d'erreur de prévision au temps \[t_{i+1}\] par propagation de la matrice de covariance d'erreur d'analyse de \[t_i\] à \[t_{i+1}\] par le modèle linéaire d'évolution :
(041)\[ \mathbf{P}^f_{i+1} = \mathbf{M}_{i \to i+1} \mathbf{P}^a_i \mathbf{M}^T_{i \to i+1} + \mathbf{Q}_i\].
A noter que, bien que le filtre de Kalman soit une analyse optimale, le filtre de Kalman étendu perd cette qualité (il ne fournit pas la solution de variance minimale). Néanmoins, l'utilisation du filtre de Kalman étendu dans un cadre faiblement non-linéaire permet d'obtenir de bonnes analyses. De plus, la linéarisation du modèle d'évolution \[M\] peut interagir avec les erreurs modèle de manière assez compliquée.
