Mot-clé - Filtre de Kalman étendu

jeudi, novembre 22 2007

L'assimilation de données

Par jOas le jeudi, novembre 22 2007, 08:23 - Assimilation

Chose promise, chose due. Alors, voici une vision générale de ce qui occupe les plus longues de mes heures : l'assimilation de données.

Ce billet regroupe les différents billets publiés sur le contexte général de l'assimilation de données sous forme d'une table des matières hiérarchisée. Peut-être verrez-vous d'ici quelques temps fleurir des billets sur le cadre plus particulier de mon travail : l'assimilation de données océanographique avec une méthode variationnelle. Qui sait ?

Bonne lecture...

jeudi, novembre 15 2007

Méthode d'assimilation - Coût de Calcul et filtres dégradés

Par jOas le jeudi, novembre 15 2007, 22:07 - Assimilation

Les différents filtres de Kalman à rang réduit représentent des approches réalistes permettant l'implémentation du filtre de Kalman à des problèmes complexes et de grandes tailles.

En effet, alors que l'utilisation des filtres de Kalman ou de Kalman étendu nécessitent des ressources informatiques hors de portée pour des problèmes de grandes tailles comme l'océanographie ou la météorologie, le passage à un sous-espace représentatif de taille beaucoup plus petite permet la mise en oeuvre réaliste des méthodes utilisant cette technique.

Méthode d'assimilation - Les filtre de Kalman réduits

Par jOas le jeudi, novembre 15 2007, 21:25 - Assimilation

Depuis R. E. Kalman, les filtres ont été utilisés dans de nombreuses applications. Mais très vite, les aspects limitants de l'implémentation du filtre de Kalman sont apparus. Ainsi, l'assimilation de données n'était pas possible dans des domaines comme la météorologie, ou plus tard, l'océanographie car les dimensions du problème rendaient excessif le coût numérique et, de plus, les statistiques nécessaires au filtre de Kalman ne sont que rarement connues.

Pour résoudre ce problème, une hypothèse peut permettre de le contourner. L'idée est, qu'à un instant donné, la physique du modèle est contrôlée par un nombre ou une combinaison limitée de variables. L'hypothèse est alors que les statistiques d'erreurs significatives sont données par celles portant sur ces variables contrôlant la physique du modèle (les modes réduits). Il est alors nécessaire des les identifier. De plus, il faut aussi être capable d'enrichir stochastiquement le système afin que la base de modes réduits puisse évoluer sans contraintes trop fortes. En effet, le risque est que ces modes, s'ils dégénèrent, ne sous-tendent plus la fraction de l'espace des états dans lequel évolue le système.

Méthode d'assimilation - L'exemple du naufragé

Par jOas le jeudi, novembre 15 2007, 21:11 - Assimilation

Revenons aux mésaventures de notre naufragé introduites précédemment. Finalement, ne sachant comment atteindre le rivage, il se résout à évaluer la distance le séparant du rivage toutes les heures. Il dispose ainsi de \[i\] mesures de la distance du canot au rivage (\[v^o_i\]) entre l'instant de son naufrage \[t_0\] et la dernière mesure au temps \[t_i\]. Cette évaluation est supposée sans biais et sa variance, notée comme précédemment \[s^o\], est supposée stationnaire. Les coordonnées réelles du canot sont \[(u_i,v_i)\],tandis que celle issues de l'analyse \[(u_i^a,v_i^a)\] et celles de la prévision \[(u_i^f,v_i^f)\]. A l'instant du naufrage (\[t_0\]), la position du canot est \[(u_0^a,v_0^a)=(0,0)\]. Entre deux mesures aux instants \[t_i\] et \[t_{i+1}\],le canot dérive mais sa direction n'est pas connue. Le naufragé imagine donc un modèle d'évolution comme un modèle de diffusion autour de son point d'origine. Il peut donc écrire le modèle (linéaire en l'occurrence) tel que \[\mathbf{M}_{i \to i+1}=\mathbf{I}\]) et l'erreur modèle, qu'il suppose importante, telle que

\[ \mathbf{Q}_i=\left( \begin{array}{cc} s^m & 0 \\ 0 & s^m \end{array} \right)\],

où \[s^m\] est proportionnel au temps écoulé entre \[t_{k+1}\] et \[t_0\].

Méthode d'assimilation - Le coût de calcul

Par jOas le jeudi, novembre 15 2007, 20:52 - Assimilation

L'algorithme du filtre de Kalman complète le système d'équations lié à la détermination de l'état analysé et à sa propagation dans le temps avec deux équations de calcul et de propagation de la matrice de covariance d'erreur d'analyse. Le coût numérique du filtre de Kalman est donc la somme du coût du traitement du vecteur d'état et des covariances d'erreur. Pour les systèmes de grande taille tels que l'océan ou l'atmosphère, le coût de calcul principal provient du traitement des covariances d'erreur d'analyse. La première étape coûteuse est l'inversion de la matrice \[\left(\mathbf{H}_i\mathbf{P}^f_i\mathbf{H}_i^T+\mathbf{R}_i \right)\]. La propagation par les équations de la dynamique du modèle linéaire-tangent de \[\mathbf{P}^a\] requiert ensuite la multiplication par la matrice \[\mathbf{M}\] par chaque colonne (chaque ligne pour \[ \mathbf{M}^T \]) de \[ \mathbf{P}^a \] (autour de \[ 10^7 \times 10^7 \] opérations). Au delà du coup de calcul exorbitant de ces opérations, il est impossible de stocker entre chaque étape d'analyse de telles matrices malgré les capacités déjà importantes disponibles. Pour ces raisons, l'algorithme du filtre de Kalman ne peut être appliqué qu'à des systèmes de taille réduite.

Il doit donc être simplifié pour permettre son application aux systèmes océaniques et atmosphériques. Plusieurs études visent notamment à réduire le nombre d'intégration du modèle linéaire-tangent en ne propageant pas la matrice de covariance d'erreur que suivant certaines directions (Fukomori etal., 1995 ; Evensen, 1994 ; Fisher, 1998 et Evensen, 2003). Il faut tout d'abord identifier un sous-espace de dimension réduite. Ensuite, seule la projection de la matrice de covariance dans ce sous-espace, et non la matrice complète, est propagée. Divers de ces filtres seront présentés dans la section suivante.

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