Mot-clé - Méthode variationnelle

jeudi, novembre 22 2007

L'assimilation de données

Par jOas, jeudi, novembre 22 2007. Assimilation

Chose promise, chose due. Alors, voici une vision générale de ce qui occupe les plus longues de mes heures : l'assimilation de données.

Ce billet regroupe les différents billets publiés sur le contexte général de l'assimilation de données sous forme d'une table des matières hiérarchisée. Peut-être verrez-vous d'ici quelques temps fleurir des billets sur le cadre plus particulier de mon travail : l'assimilation de données océanographique avec une méthode variationnelle. Qui sait ?

Bonne lecture...

vendredi, novembre 16 2007

Méthode d'assimilation - 4DVar

Par jOas, vendredi, novembre 16 2007. Assimilation

Le 4D-Var est l'extension temporelle du 3D-Var. Cette méthode ne vise pas à obtenir l'état optimal à un instant donné, mais la trajectoire optimale sur une fenêtre de temps donné. Les observations sont donc prises en compte aussi bien dans leur distribution spatiale que temporelle. Cet aspect est déjà pris en compte par le 3D-Var FGAT présenté dans la section ad-hoc. Néanmoins, le 4D-Var apporte un aspect temporel en plus car il propage l'information apportée par les observations à l'instant initial de la fenêtre d'assimilation. De ce fait, l'analyse obtenue doit permettre au modèle d'évolution d'avoir la trajectoire la plus proche possible de l'ensemble des observations utilisées.

Cette amélioration du 3D-Var permet d'ajouter la connaissance de l'évolution du système comme information pour l'analyse.

De nombreuses applications à des modèles réalistes météorologiques (Thépaut et Courtier, 1991 et Zupanski, 1993) et océanographiques (Moore, 1986 ; Shröter etal., 1993 ; Luong etal., 1998 et Greiner etal., 1998) ont depuis longtemps été effectuées.

L'amélioration ainsi apportée, conjuguée au fort développement des moyens de calculs, font que le 4D-Var est venu remplacer le 3D-Var dans les systèmes de prévision opérationnels atmosphériques du CEPMMT en 1997 et de Météo-France en 2000.

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jeudi, novembre 15 2007

Méthode d'assimilation - 3DVar

Par jOas, jeudi, novembre 15 2007. Assimilation

3D-Var

La méthode d'assimilation variationnelle tri-dimensionnelle, notée 3D-Var pour "3Dimensional VARiational assimilation", consiste à chercher l'état le plus vraisemblable à partir des connaissances disponibles sur les lois de probabilités des erreurs d'observation et d'ébauche.

Comme sont nom l'indique clairement, le 3D-Var traite de problèmes tri-dimensionels. Par abus de langage, cette appellation est aussi utilisée pour des problèmes à une ou deux dimensions afin d'éviter les risques de confusions avec l'extension temporelle de cette méthode. En effet, sur un problème bi-dimensionnel, le 3D-Var s'appellerait 2D-Var, tandis que le 4D-Var se nommerait 3D-Var. Ce qui serait particulièrement ambigu. De ce fait, tous les problèmes ne prenant pas en compte l'aspect temporel sont appelés 3D-Var.

Comme pour le filtre de Kalman, le 3D-Var consiste à minimiser la distance au sens des moindres carrés entre l'état estimé et les différentes sources d'informations telles que la prévision précédente et les observations. Le nouvel état analysé est, en général, utilisé comme point de départ de la prévision suivante.

Méthode d'assimilation - Méthodes variationnelles

Par jOas, jeudi, novembre 15 2007. Assimilation

Introduites au début des années cinquante par Sasaki (Sasaki, 1955 et Sasaki, 1958), les méthodes variationnelles sont devenues pendant les années 1990 très populaires. De grands centres de prévisions météorologiques, tels que le NMC (U.S. National Meteorological Center, maintenant appelé National […]

Interpolation statistiques - Approche variationnelle

Par jOas, jeudi, novembre 15 2007. Assimilation

Équivalence avec le BLUE

En reprenant exactement les mêmes hypothèses que pour le BLUE, il est possible de résoudre le problème par une approche variationnelle. Pour cela, il faut définir une fonctionnelle :

(023)

\[J(\mathbf{x})=\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{x}^b)\mathbf{B}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{x}^b)+\frac{1}{2}(\mathbf{y}^o-\mathbf{H}\mathbf{x})^T\mathbf{R}^{-1}(\mathbf{y}^o-\mathbf{H}\mathbf{x}) \],

appelée fonction coût et qui a pour caractéristique d'être quadratique en \[ \mathbf{x} \]. Comme, de plus, les matrices \[\mathbf{B}\] et \[ \mathbf{R} \] sont définies positives, alors cette fonction coût est convexe et possède un seul minimum qui peut être estimé par son gradient :

(024)

\[ \nabla J(\mathbf{x}) = \mathbf{B}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{x}^b)-\mathbf{H}^T\mathbf{R}^{-1}(\mathbf{y}^o-\mathbf{H}\mathbf{x}) \].

jOas wEb Sci