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mercredi, novembre 14 2007
Par jOas le mercredi, novembre 14 2007, 00:20 - Assimilation
Un ansatz pour le vecteur d'analyse \[ \mathbf{x}^a \] est de le décomposer de la manière suivante :
où \[\mathbf{L} \] est une matrice de dimension n x n et \[ \mathbf{K} \] une matrice de dimension n x p. L'état analysé est donc une combinaison linéaire des différentes informations disponibles.
mardi, novembre 13 2007
Par jOas le mardi, novembre 13 2007, 23:59 - Assimilation
Le système étudié est décrit par \[ \mathbf{x}^t \]. La première estimation faite est \[ \mathbf{x}^b \] qui peut, par exemple, provenir d'une analyse antérieure. C'est la meilleure estimation du système en l'absence d'autres informations. Des observations \[ \mathbf{y}^o \] permettent d'obtenir des renseignements partiels au travers de l'opérateur d'observations non-linéaire \[ H \]. Dans la suite de ce chapitre, l'opérateur d'observations sera considéré linéaire et noté \[ \mathbf{H} \]. De plus, les erreurs d'ébauche \[ \epsilon^b \] et d'observation \[ \epsilon^o \] sont non-biaisées (ou débiaisées) et leurs statistiques sont connues.
L'objectif est alors, à l'aide des observations, d'améliorer l'estimation du système \[ \mathbf{x}^a \] vis-à-vis de la première estimation \[ \mathbf{x}^b \]. De plus, l'erreur sur l'état du système analysé \[ \epsilon^a \] est aussi recherchée.
Plusieurs possibilités existent pour obtenir l'analyse. Cependant, l'objectif est de réaliser une analyse aussi bonne qui possible (voire la meilleure). Il faut donc minimiser l'erreur commise a posteriori \[ \epsilon^a \], soit par exemple en minimisant \[ \mathrm{Tr}(\mathbf{A})\].
Par jOas le mardi, novembre 13 2007, 23:52 - Assimilation
Soit l'espace du modèle de dimensions n et l'espace des observations de dimensions p. En reprenant les définitions et notations précédentes :
Par jOas le mardi, novembre 13 2007, 18:49 - Assimilation
Pour prendre en compte les incertitudes dans l'ébauche, les observations et l'analyse, il faut faire des hypothèses sur la modélisation des erreurs entre ces vecteurs et leurs équivalents "vrais". L'utilisation des fonctions de densité de probabilité, nommées pdf, est une approche adaptée pour construire des modèles d'erreur. Les fonctions de densité de probabilité sont largement et rigoureusement décrites à travers des théories mathématiques. Une description simplifiée est donnée ci-dessous.
Par jOas le mardi, novembre 13 2007, 15:15 - Assimilation
Pour formaliser mathématiquement le problème d'analyse, il faut définir un espace de travail. L'état du modèle est défini par une série de nombres ordonnés en une matrice colonne appelé vecteur d'état. Ce vecteur d'état \[ \mathbf{x} \] est le même que celui utilisé dans le modèle de prévision. Le choix de la discrétisation détermine comment les composantes vectorielles sont liées à l'état vrai du système. La discrétisation est ainsi équivalant au choix d'une base en mathématique.
Plusieurs vecteurs d'état peuvent être définis. Il n'est pas possible de décrire la réalité parfaitement car elle ne peut pas être représentée dans un vecteur d'état. Néanmoins, un vecteur \[ \mathbf{x}^t_c \] pourra permettre de décrire cet état vrai en continu. Plus classiquement, \[ \mathbf{x}^t" \] représentera la meilleure représentation possible de la réalité \[ \mathbf{x}^t_c" \] dans un vecteur d'état nommé état vrai. La première estimation de l'état analysé est appelé l'ébauche \[ \mathbf{x}^b" \], tandis que l'état analysé lui-même est noté \[ \mathbf{x}^a" \].
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