Interpolation statistique - Best Linear Unbiased Estimation
Par jOas le jeudi, novembre 15 2007, 00:21 - Assimilation - Lien permanent
Connaissant la matrice de covariance d'erreur d'analyse, il est possible d'essayer de minimiser son erreur scalaire (\[ \mathrm{Tr}(\mathbf{A}) \]). Il doit donc exister un gain optimal \[ \mathbf{K}^*\] qui peut être obtenu en étudiant la variation de l'erreur scalaire d'analyse sous une variation du gain. Comme la trace est une fonction scalaire continue et différentiable des coefficients de \[ \mathbf{K} \], il est possible d'exprimer sa dérivé \[ d_{\mathbf{K}} \] au premier ordre :
\[ d_{\mathbf{K}}\left(\mathrm{Tr}(\mathbf{A})\right) = \mathrm{Tr}\left( \mathbf{R}\mathbf{K}^T -\mathbf{H}\mathbf{B}\mathbf{L}^T \right) +\mathrm{Tr}\left( \mathbf{K}\mathbf{R} - \mathbf{L}\mathbf{B}\mathbf{H}^T \right) \]
L'équation (013) est obtenue en utilisant des propriétés de l'algèbre linéaire telles que la trace est linéaire \[ \mathrm{Tr}(\mathbf{B}+\alpha\mathbf{R})=\mathrm{Tr}(\mathbf{B})+\alpha\mathrm{Tr}(\mathbf{R}) \]), la trace de la transposée égale la trace (\[ \mathrm{Tr}(\mathbf{B}^T)=\mathrm{Tr}(\mathbf{B}) \]) et les matrices symétriques sont égales à leurs transposées (\[ \mathbf{B}^T=\mathbf{B} \]).
Pour obtenir le gain optimal \[ \mathbf{K}^*\], il faut que \[ d_{\mathbf{K}}\left(\mathrm{Tr}(\mathbf{A})\right)=0\]. L'équation (013) donne alors le résultat suivant :
\[ \mathbf{K}^*\mathbf{R} -\mathbf{L}\mathbf{B}\mathbf{H}^T = 0\],
\[ \mathbf{K}^*\mathbf{R} -(\mathbf{I}-\mathbf{K}^*\mathbf{H})\mathbf{B}\mathbf{H}^T = 0\],
A l'optimalité, on a donc un gain égale
Avec ce gain optimal, il est alors possible d'estimer \[\mathbf{x}^a\] et \[\mathbf{A}\]. C'est une estimation BLUE (Best Linear Unbiased Estimation) car elle est linéaire (Eq. (006)), sans biais (Eq. (008)) et optimale (Eq. (014)).