Présentation du problème - Description des vecteurs et espaces
Par jOas le mardi, novembre 13 2007, 15:15 - Assimilation - Lien permanent
Vecteur d'état
Pour formaliser mathématiquement le problème d'analyse, il faut définir un espace de travail. L'état du modèle est défini par une série de nombres ordonnés en une matrice colonne appelé vecteur d'état. Ce vecteur d'état \[ \mathbf{x} \] est le même que celui utilisé dans le modèle de prévision. Le choix de la discrétisation détermine comment les composantes vectorielles sont liées à l'état vrai du système. La discrétisation est ainsi équivalant au choix d'une base en mathématique.
Plusieurs vecteurs d'état peuvent être définis. Il n'est pas possible de décrire la réalité parfaitement car elle ne peut pas être représentée dans un vecteur d'état. Néanmoins, un vecteur \[ \mathbf{x}^t_c \] pourra permettre de décrire cet état vrai en continu. Plus classiquement, \[ \mathbf{x}^t" \] représentera la meilleure représentation possible de la réalité \[ \mathbf{x}^t_c" \] dans un vecteur d'état nommé état vrai. La première estimation de l'état analysé est appelé l'ébauche \[ \mathbf{x}^b" \], tandis que l'état analysé lui-même est noté \[ \mathbf{x}^a" \].
Variable de contrôle
En général, l'analyse n'est pas effectuée sur le vecteur d'état. En effet, il est souvent intéressant de ne pas résoudre le problème en prenant en compte toutes les variables du vecteur d'état. Ceci pour plusieurs raison. D'abord, certaines variables sont difficiles à prendre en compte. Ensuite, il est parfois souhaitable de réduire la taille du problème pour des questions de coûts informatiques. En effet, les besoins des modèles de prévision évoluent avec l'évolution des capacités informatiques en augmentant la résolution ou en améliorant la sophistication. Les méthodes d'assimilation sont alors d'autant plus coûteuses et il est primordiale réduire ces coûts. Au lieu de résoudre le problème dans l'espace du modèle, il est alors judicieux de le résoudre dans l'espace permettant de corriger l'ébauche. C'est l'espace des variables de contrôle. Le problème n'est plus de trouver l'état analysé \[ \mathbf{x}^a \], mais l'incrément vers l'état analysé \[ \delta \mathbf{x} \] tel que
\[ \mathbf{x}^a = \mathbf{x}^b + \delta \mathbf{x} \]
le plus proche possible de \[ \mathbf{x}^t \]. Une simple translation permet alors de transformer le problème. Au lieu de regarder \[ \mathbf{x}^a \], il faut regarder \[ (\mathbf{x}^a - \mathbf{x}^b) \] dans le sous-espace adéquat.
Observations
Chaque analyse utilise un nombre limité d'observations qui sont rangées dans un vecteur d'observation \[ \mathbf{y}^o \]. Leur utilisation dans la méthode d'analyse dépend de la possibilité de les comparer avec le vecteur d'état. Dans l'idéal, il y aurait une observation pour chaque variable du vecteur d'état. En pratique, le nombre d'observations est très inférieur à celui des variables du vecteur d'état. De plus, les observations sont disposées très irrégulièrement. Il faut donc définir une fonction permettant de passer de l'espace du modèle à celui des observations. Cette fonction, nommée opérateur d'observation H, permet d'obtenir un équivalent du modèle \[ H\mathbf{x} \] dans l'espace des observations. Cette équivalent modèle est la valeur que devrait avoir l'observation si la mesure de l'observation et l'état du modèle étaient parfaits. En pratique, l'opérateur d'observation H est construit sur la base d'opérateurs d'interpolation et d'opérateurs permettant de transformer les variables du modèle en paramètres observés. Par exemple, en météorologie, il peut transformer les températures des différents niveaux de pression en une radiance mesurée par les satellites.
Représenteur
L'élément essentiel de l'assimilation de données est la comparaison entre les observations et le vecteur d'état. En utilisant les éléments introduits dans le paragraphe précédent, il est possible de définir un représenteur \[ \mathbf{y}-H\mathbf{x} \] aux points d'observations. Ce représenteur est appelé vecteur d'innovations quand le vecteur d'état est l'ébauche et vecteur des résidus d'analyse quand le vecteur d'état est l'analyse. L'étude des ces différents vecteurs permet de déterminer la qualité de la méthode d'analyse.