En reprenant l'espace du modèle de dimension \[n\], avec un état du système initial \[\mathbf{x}_0^f\] auquel est associé la matrice de covariance d'erreur \[\mathbf{P}^f_0\], il faut réaliser une décomposition en mode principaux de cette matrice telle que
où \[\mathbf{S}^f_0\] est une matrice de dimension \[(m \times n)\] avec \[m\] représentant les \[m\] premiers modes principaux de \[\mathbf{P}^f_0\] . L'erreur sur l'ébauche a donc été réduite. Il est alors possible de définir un opérateur d'observation \[ {\Psi}=(H_i \mathbf{S}^f_i)^T\] . Le gain de Kalman, calculé dans l'espace d'analyse, peut alors être décrit en fonction de \[{\Psi}^T\] de taille \[(p\times m)\]
Et, il est aussi possible d'obtenir la matrice racine de covariance d'analyse sans faire de calcul directement avec les matrices de covariance d'erreur :
Le calcul de la racine de \[\mathbf{S}^a_i\] pourrait être coûteux, mais il n'en est rien puisque \[\mathbf{I}-{\Psi}\left({\Psi}^T{\Psi} +\mathbf{R}_i\right)^{-1}{\Psi}^T\] est de taille \[(m\times m)\]. De plus, la matrice racine est mieux conditionnée, ce qui assure une meilleure précision numérique.
Après l'analyse, la dimension du système est réduit en passant de \[m\] modes à \[m-q\] modes. Pour cela, il suffit de diagonaliser \[(\mathbf{S}^a_i)^T\mathbf{S}^a_i\] et de ne retenir que les \[m-q\] plus grandes valeurs propres de la matrice de passage, puis de réduire \[\mathbf{S}^a_i\] .
A l'étape de prévision, l'état analysé est propagé par le modèle d'évolution et la racine de la matrice réduite \[\tilde{\mathbf{S}}^a_i\] par le modèle linéaire-tangent. Elle est ensuite élargie en ajoutant \[q\] modes imputés à l'erreur modèle :
Cette matrice comporte alors \[m\] modes.
